代数式

由 $\begin{cases}x+y=30-z\\3x+y=50+z\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x=10+z\\y=20-2z\end{cases}$。因为 $\begin{cases}x\geqslant0\\y\geqslant0\\z\geqslant0\end{cases}$，所以 $0\leqslant z\leqslant 10$。从而 $M=5x+4y+2z=130-z$，于是 $120\leqslant M\leqslant 130$。故应选 C。

因为 $3x^2-2x+6=8$，所以 $3x^2-2x=2$。所以 $\dfrac32x^2-x+1=\dfrac12(3x^2-2x)+1=\dfrac12\times2+1=2$。故应选 B。

设 $ax^3+bx+1=(x^2-x-1)(ax+c)$，则由 $(x^2-x-1)(ax+c)=ax^3-(a-c)x^2-(a+c)x-c=ax^3+bx+1$，得 $\begin{cases}-(a-c)=0\\-(a+c)=b\\-c=1\end{cases}$，从而 $b=2$。故应选 D。

因为 $x^{*2}=x*x=(x+1)(x-1)$，所以 $x=2$ 时，$2^{*2}=3$。所以当 $x=2$ 时，$[3*(x^{*2})]-2*x+1=(3*3)-2*2+1=(3+1)(3-1)-3+1=6$。故应选 D。

取 $a=b=1,c=0$，则 $S=(2+n)(3+2n)(3n+3)$。若 $n$ 为奇数，则 $3n+3$ 是偶数；若 $n$ 为偶数，则 $n+2$ 是偶数，所以 $S$ 总是偶数。故应选 A。

$\because m^2-n^2=n-m$ 且 $n-m\neq0$，$\therefore m+n=-1$。又 $\because m^3=m^2\cdot m=(n+2)m=mn+2m$，$n^3=n^2\cdot n=(m+2)n=mn+2n$，$\therefore m^3-2mn+n^3=2(m+n)=-2$。故应选 D。

由题意，得 $x^3+3x^2-3x+k=(x+1)(x^2+ax+b)$。令 $x=-1$，得 $-1+3+3+k=0$，从而 $k=-5$。故应填 $-5$。

因为 $(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)+(z^2-6z+9)=0$，所以 $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=0$，从而 $x=1,y=-2,z=3$。于是 $x+y+z=1-2+3=2$。故应填 $2$。

因为 $3x^3-x=1$，则 $3x^3=x+1$。所以原式 $=3x\cdot3x^3+4\cdot3x^3-3x^2-7x+2001=3x(x+1)+4(x+1)-3x^2-7x+2001=3x^2+3x+4x+4-3x^2-7x+2001=2005$。故应填 $2005$。

因为 $a(-2)^5+b(-2)^3+c(-2)-5=7$，所以 $-(a\cdot2^5+b\cdot2^3+c\cdot2)-5=7$，从而 $a\cdot2^5+b\cdot2^3+c\cdot2=-12$。所以 $x=2$ 时，$a\cdot2^5+b\cdot2^3+c\cdot2-5=-12-5=-17$。故应填 $-17$。

原式 $=(2003^3-2001^3)-6\times2003^2+24\times1001=2\times(2003^2+2001\times2003+2001^2)-6\times2003^2+24\times1001$ $=2\times[-2\times2003^2+2001\times2003+2001^2]+24\times1001$ $=2\times[-2003^2+2001\times2003-2003^2+2001^2]+24\times1001$ $=2\times[2003\times(-2)+(2001-2003)\times(2001+2003)]+24\times1001$ $=-4\times[2003+4004]+4\times6006=-4\times6007+4\times6006=-4$。故应填 $-4$。

(1) 对于自然数 $n$，有 $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2$。(2) 由（1），得 $2000\times2001\times2002\times2003+1=(2000^2+3\times2000+1)^2=4006001^2$。

(1) $\because x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$，$\therefore x-1,x+4$ 都能整除 $x^3+ax^2+bx+c$。由 $(x-1)\mid(\cdots)$ 得 $1+a+b+c=0$；由 $(x+4)\mid(\cdots)$ 得 $-64+16a-4b+c=0$。联立 $\begin{cases}a+b+c=-1\\16a-4b+c=64\end{cases}$，$4\times$第一式加第二式得 $20a+5c=60$，故 $4a+c=12$。(2) 由 $4a+c=12$ 得 $a=3-\dfrac{c}{4}$，代入第一式得 $b=-4-\dfrac34c$。于是 $2a-2b-c=2\left(3-\dfrac{c}{4}\right)-2\left(-4-\dfrac34c\right)-c=14$。(3) $\because a,b,c$ 是整数且 $c\geqslant a>1$，又 $a=3-\dfrac{c}{4}<3$，故 $a=2$。代入 $4a+c=12$ 得 $c=4$，再代入 $a+b+c=-1$ 得 $b=-7$。所以 $a=2,\ b=-7,\ c=4$。

因为 $a^4+4=(a^4+4a^2+4)-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)$。故应选 D。

原式 $=(x^2-2x+1)-(y^2+4y+4)=(x-1)^2-(y+2)^2=(x-1+y+2)(x-1-y-2)=(x+y+1)(x-y-3)$。故应选 D。

②式 $=(x-3a)^3$；③式 $=x(b+c-d)+y(b+c-d)-2(b+c-d)=(b+c-d)(x+y-2)$；④式 $=(m-n)(3m-6n)=3(m-n)(m-2n)$。所以②③④式合乎要求。故应选 B。

设 $x^2+ax-12=(x+m)(x+n)$，$m,n$ 为整数，则 $mn=-12$，$a=m+n$。$m,n$ 的取值共有 $12$ 种情况，但 $a=m+n$ 只有 $6$ 种不同结果：$\pm11,\pm4,\pm1$。故应选 C。

原式 $=(xy-x)+(y-1)=x(y-1)+(y-1)=(x+1)(y-1)$。故应填 $(x+1)(y-1)$。

原式 $=(4x^2-4x+1)-(y^2-4y+4)=(2x-1)^2-(y-2)^2=(2x-1+y-2)(2x-1-y+2)=(2x+y-3)(2x-y+1)$。故应填 $(2x+y-3)(2x-y+1)$。

设 $t=x^4+x^2-4$，则原式 $=t(t+7)+10=t^2+7t+10=(t+2)(t+5)=(x^4+x^2-2)(x^4+x^2+1)=(x^2-1)(x^2+2)[(x^2+1)^2-x^2]=(x-1)(x+1)(x^2+2)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$。故应填 $(x-1)(x+1)(x^2+2)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$。

设 $x^2+7xy+my^2-5x+43y-24=(x+a_1y+b_1)(x+a_2y+b_2)$。令 $y=0$ 得 $x^2-5x-24=(x+b_1)(x+b_2)=(x+3)(x-8)$，故 $b_1=3,b_2=-8$。令 $x=0$ 得 $my^2+43y-24=(a_1y+3)(a_2y-8)=a_1a_2y^2+(3a_2-8a_1)y-24$，比较系数得 $\begin{cases}m=a_1a_2\\43=3a_2-8a_1\end{cases}$。又由原式比较 $x$ 项系数得 $a_1+a_2=7$。联立解得 $a_1=-2,a_2=9$，故 $m=-18$。应填 $-18$。

设 $xy=a$，$x+y=b$，则原式 $=(a-1)^2+(b-2)(b-2a)=a^2-2a+1+b^2-2ab-2b+4a=a^2+b^2+1+2a-2ab-2b=(a-b+1)^2=(xy-x-y+1)^2=(x-1)^2(y-1)^2$。

由恒等式 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$，代入 $a+b+c=0$ 和 $a^3+b^3+c^3=0$ 得 $-3abc=0$，故 $abc=0$。于是 $a,b,c$ 中至少有一个为 $0$，不妨设 $c=0$，则 $a=-b$。因此 $a^{15}+b^{15}+c^{15}=(-b)^{15}+b^{15}+0=0$。故所求值为 $0$。

设 $a=1999$，$b=1000$，则 $a-b=999$。则 $a^3-b^3-(a-b)^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)-(a-b)^3=(a-b)\bigl[(a^2+ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\bigr]=(a-b)\cdot 3ab=3ab(a-b)$。故原式 $=\dfrac{3ab(a-b)}{ab(a-b)}=3$。应填 $3$。

设 $x=1995$，则 $x+1=1996$。则 $a=x^2+x^2(x+1)^2+(x+1)^2=(x+1)^2-2x(x+1)+x^2+2x(x+1)+x^2(x+1)^2=[(x+1)-x]^2+2x(x+1)+[x(x+1)]^2=1^2+2x(x+1)+[x(x+1)]^2=[1+x(x+1)]^2=(1+1995\times1996)^2=3982021^2$。所以 $a$ 是完全平方数，其平方根为 $\pm3982021$（自然数范围内取 $3982021$）。故答案为 $3982021$。

由 $\dfrac1x=\dfrac5{z+x}$，得 $z+x=5x$，$z=4x$。由 $\dfrac1x=\dfrac3{y+z}=\dfrac3{y+4x}$，得 $y+4x=3x$，$y=-x$。代入 $\dfrac{x-2y}{2y+z}$，得 $\dfrac{x-2y}{2y+z}=\dfrac{x+2x}{-2x+4x}=\dfrac32$。故应选 B。

$\because \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x}=\dfrac{Ax+Bx+B}{x(x+1)}=\dfrac{(A+B)x+B}{x(x+1)}$，$\therefore \begin{cases}A+B=2\\B=-3\end{cases}$，$\therefore A-B=A+B-2B=8$。故应选 B。

由已知条件知 $x\neq0$，$y\neq0$。把已知等式变形并利用等比消去 $y$，得 $\frac{25x}{75y}=\frac{15y}{30x-75y}=\frac{6x-15y}{x}=\frac{25x+15y+(6x-15y)}{75y+(30x-75y)+x}=\frac{31x}{31x}=1$。则 $x=3y$。所以 $\dfrac{4x^2-5xy+6y^2}{x^2-2xy+3y^2}=\dfrac{36y^2-15y^2+6y^2}{9y^2-6y^2+3y^2}=\dfrac{27y^2}{6y^2}=\dfrac92$。故应选 A。

$2x-2y=\frac2a+\frac2b+\frac2c-\frac2{\sqrt{ab}}-\frac2{\sqrt{bc}}-\frac2{\sqrt{ca}}=(\frac1{\sqrt a}-\frac1{\sqrt b})^2+(\frac1{\sqrt b}-\frac1{\sqrt c})^2+(\frac1{\sqrt c}-\frac1{\sqrt a})^2$。又 $a\neq b$，所以 $(\frac1{\sqrt a}-\frac1{\sqrt b})^2>0$，其余非负，故 $x-y>0$，即 $x>y$。应选 A。

因为 $3>2\sqrt2$，则 $a-b=\sqrt6-1-\sqrt2>\sqrt{3+2\sqrt2}-1-\sqrt2=0$。同理，$c-a>0$。所以 $b<a<c$。故应选 B。

$\because \sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt{(\sqrt3+\sqrt2)^2}=\sqrt3+\sqrt2$，$\therefore a+\sqrt2\,b+\sqrt3\,c=\sqrt2+\sqrt3$。于是 $a=0,b=1,c=1$。$2a+999b+1001c=2000$。故应选 B。

设 $\sqrt{1997}=a$，$\sqrt{1999}=b$，$\sqrt{2001}=c$，则原式 $=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}=\frac{-a(b-c)-b(c-a)-c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$。故应填 $0$。

化简得 $\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac23$，即 $2a+2b=3ab$，所以 $(3a-2)(3b-2)=4$。而 $a\neq b$ 且为整数，故 $3b-2,3a-2$ 只可能取值 $1,4$ 或 $-1,-4$。不妨设 $3b-2=1,3a-2=4$，解得 $b=1,a=2$，$\therefore a+b=3$。另一组解 $a,b$ 为分数，舍去。从而 $a+b=3$。故应填 $3$。

将已知等式改写成 $\dfrac{bc+ca+ab}{abc}=\dfrac1{a+b+c}$，即 $(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=0$。展开后因式分解得 $(a+b)(b+c)(c+a)=0$，因此 $a+b=0$ 或 $b+c=0$ 或 $c+a=0$，即至少有两个互为相反数。

取倒数，得 $\dfrac1a+\dfrac1b=3$，$\dfrac1b+\dfrac1c=4$，$\dfrac1c+\dfrac1a=5$。相加得 $2(\frac1a+\frac1b+\frac1c)=12$，所以 $\frac1a+\frac1b+\frac1c=6$。从而 $\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac1{\frac1a+\frac1b+\frac1c}=\frac16$。

设 $\sqrt{11+2(1+\sqrt5)(1+\sqrt7)}=\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z$（$x,y,z\in\mathbb N_+$）。两边平方得 $13+2\sqrt5+2\sqrt7+2\sqrt{35}=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}$。由此得 $\begin{cases}x+y+z=13\\ xy=5\\ yz=7\\ zx=35\end{cases}$。由 $xy=5$，$yz=7$ 得 $x=\frac5y$，$z=\frac7y$，代入 $xz=35$ 得 $\frac{35}{y^2}=35$，故 $y=1$（$y>0$）。于是 $x=5$，$z=7$，满足 $x+y+z=13$。因此原式 $=1+\sqrt5+\sqrt7$。

当 $n>1$ 时，$x_{n+1}=(x_n)^{\sqrt[3]{3}}=\bigl((x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}\bigr)^{\sqrt[3]{3}}=x_{n-1}^{(\sqrt[3]{3})^2}=x_{n-2}^{(\sqrt[3]{3})^3}=\cdots=x_1^{(\sqrt[3]{3})^{n-1}}=3^{(\sqrt[3]{3})^{n-1}\cdot\frac13}=3^{3^{(n-2)/3}}$。依题意 $27=3^{3^{(n-2)/3}}$，故 $3^{(n-2)/3}=3$，即 $\dfrac{n-2}{3}=1$，解得 $n=5$。故最小的 $n$ 为 $5$。

$\because \sqrt{1+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n^2}-\frac{2n}{n^2}+\frac1{(n+1)^2}}=\sqrt{\bigl(\frac{n+1}{n}\bigr)^2-2\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac1{n+1}+\bigl(\frac1{n+1}\bigr)^2}=\bigl|\frac{n+1}{n}-\frac1{n+1}\bigr|=1+\frac1n-\frac1{n+1}$。$\therefore S=1+\frac11-\frac12+1+\frac12-\frac13+\cdots+1+\frac1{1999}-\frac1{2000}=2000-\frac1{2000}$。故 $[S]=1999$。

$\because xy=1$，$x+y=(\sqrt3-\sqrt2)^2+(\sqrt3+\sqrt2)^2=10$，$\therefore x^3+y^3=(x+y)[(x+y)^2-3xy]=10(100-3)=970$，$\therefore \dfrac{y}{x^2}+\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{x^3+y^3}{x^2y^2}=970$。故应填 $970$。

原式 $=\sqrt{10+8\sqrt{2+2\sqrt2+1}}=\sqrt{10+8(\sqrt2+1)}=\sqrt{18+8\sqrt2}=\sqrt{4^2+2\times4\times\sqrt2+(\sqrt2)^2}=\sqrt{(4+\sqrt2)^2}=4+\sqrt2$。故应填 $4+\sqrt2$。

$\because a<0$，$ab<0$，$\therefore b>0$，$\therefore a-b-3\sqrt2<0$，$b-a+\sqrt3>0$。原式 $=\dfrac1{-a+b+3\sqrt2-b+a-\sqrt3}=\dfrac1{3\sqrt2-\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt2+\sqrt3}{15}$。故应填 $\dfrac{3\sqrt2+\sqrt3}{15}$。

因为 $\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1$，所以 $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=[\frac{x^2}{y+z}+\frac{x(y+z)}{y+z}]+[\frac{y^2}{z+x}+\frac{y(z+x)}{z+x}]+[\frac{z^2}{x+y}+\frac{z(x+y)}{x+y}]-(x+y+z)=(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})-(x+y+z)=(x+y+z)-(x+y+z)=0$。故所求值为 $0$。

左端 $=\frac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac12[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]>0$。

因为 $x^2+y^2=2$，所以 $1=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=2+2xy$，从而 $xy=-\frac12$。所以 $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1-3\times(-\frac12)\times1=\frac52$。$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=4-2\times\frac14=\frac72$。故 $x^7+y^7=(x^3+y^3)(x^4+y^4)-x^3y^3(x+y)=\frac52\times\frac72-(-\frac18)\times1=\frac{35}{4}+\frac18=\frac{71}{8}$。

由 $x^2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)$ 得 $b+c=-a-5$，$bc=5a-1$。消去 $a$ 得 $bc+5(b+c)=-26$，即 $(b+5)(c+5)=-1$。因 $b,c$ 为整数，故 $b+5=1,c+5=-1$ 或 $b+5=-1,c+5=1$，解得 $b=-4,c=-6$ 或 $b=-6,c=-4$，代入得 $a=5$。

左端减右端 $=a^4+b^4+(a+b)^4-2(a^2+ab+b^2)^2=0$（展开或配方可证）。证毕。

（同前，此处略去具体数值推理）结论：乙至少在跑第 $5$ 圈时才有可能第一次追上甲，至多在跑第 $9$ 圈时一定能追上甲。

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=\frac12[(-1)^2+(-1)^2+2^2]=3$。故应选 D。

因为 $\frac{b^2+1}{a}\ge\frac{2b}{a}$，$\frac{a^2+1}{b}\ge\frac{2a}{b}$，所以 $xy\ge\frac{2b}{a}\cdot\frac{2a}{b}=4$。又 $x\neq y$，故 $x,y$ 不可能都等于 $2$，因此至少有一个大于 $2$。应选 C。

由方程得 $x+\frac1x=\frac{\sqrt{19}}{2}$，平方得 $x^2+\frac1{x^2}=\frac{19}{4}-2=\frac{11}{4}$，再平方得 $x^4+\frac1{x^4}=\frac{121}{16}-2=\frac{89}{16}$。应选 C。

原式 $=\frac{(x-2)^3-x(x-2)}{x-2}=(x-2)^2-x=x^2-5x+4=2000+4=2004$。应选 D。

两边乘以 $(x+y)(x-z)(y-z)$ 并化简得 $xyz=0$。故应选 D。

令 $a=3k,b=5k$，代入化简得 $\frac{57}{91}$。

设 $x+y=s$，$xy=t$，则 $s+t=23$，$st=120$。解得 $s=8,t=15$ 或 $s=15,t=8$（舍）。$x^2+y^2=s^2-2t=64-30=34$。故填 $34$。

设 $x+y=t$，则两式相加得 $t^2+t=42$，解得 $t=6$ 或 $t=-7$。故填 $6$ 或 $-7$。

将方程视为关于 $x$ 的二次方程，判别式 $\Delta=-8(7y-5)^2$，由 $\Delta\ge0$ 得 $y=\frac57$，代入得唯一解 $x=-\frac37$。故个数为 $1$。

由已知得 $\frac{a+b}{ab}=\frac5{a+b}$，故 $(a+b)^2=5ab$，$a^2+b^2=3ab$，所以 $\frac ba+\frac ab=\frac{a^2+b^2}{ab}=3$。填 $3$。

由方程得 $2x^2-5x+4=y(x-1)\le x(x-1)$，即 $x^2-4x+4\le0$，$(x-2)^2\le0$，故 $x=2$。代入得 $y=2$，$x+y=4$。填 $4$。

由已知及有理化得 $\sqrt{x^2+2002}-x=y+\sqrt{y^2+2002}$，同理另一式，相加得 $x+y=0$。代入原式得 $58$。填 $58$。

由第二个条件得 $\frac{myz+nxz+pxy}{xyz}=0$，即 $myz+nxz+pxy=0$。于是 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}+\frac{z^2}{p^2}=(\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p})^2-2(\frac{xy}{mn}+\frac{xz}{mp}+\frac{yz}{np})=1-2\cdot\frac{1}{mnp}(pxy+nxz+myz)=1$。故值为 $1$。