数 学 通 识 讲 义
数学归纳法：多米诺骨牌
学段 高中 · 关联知识点「数列」
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读 · 引子·钩子要证 $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$ 对每一个正整数 $n$ 都成立。$n$ 有无穷多个，你一个个验，永远验不完。可想象一排多米诺骨牌：只要 ① 第一张倒了，② 每一张倒下都能推倒下一张——那么不必一张张去推，你就断定全都会倒。数学归纳法，就是这套"骨牌逻辑"：用有限的两步，管住无穷多个命题。
讨论 · 猜想·预测先押一注："我验证了 $n=1,2,3,\dots,100$ 都成立"，这算不算证明了"对所有 $n$ 都成立"？读完再回来看。
读 · 历史- 16–17C 毛罗利科 · 帕斯卡 意大利数学家毛罗利科最早系统使用这种"一步接一步"的证法；帕斯卡用它证明了帕斯卡三角形的性质。数学归纳法就此成形。
读 · 概念要证 $P(n)$ 对所有正整数成立，数学归纳法走两步：① 基础——证 $P(1)$ 成立（第一张牌倒下）；② 递推——假设 $P(k)$ 成立（这叫"归纳假设"），据此证出 $P(k+1)$ 也成立（第 $k$ 张推倒第 $k+1$ 张）。两步都成，则 $P(n)$ 对所有 $n$ 成立。缺一不可。
做 · 例题精析用数学归纳法证明 $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$。
读要对"所有 $n$"成立——搭两步骨牌。
思基础验 $n=1$；递推：设 $n=k$ 成立，推 $n=k+1$。
写① $n=1$：左 $=1$，右 $=\frac{1\cdot2}2=1$ ✓。② 设 $1+\dots+k=\frac{k(k+1)}2$，则 $1+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}2+(k+1)=(k+1)\cdot\frac{k+2}2=\frac{(k+1)(k+2)}2$，正是 $n=k+1$ 的形式。
两步都成，故对所有正整数 $n$ 成立。∎ 关键在 ②：把"$k+1$ 的和"里拆出"$k$ 的和"，接上归纳假设这块骨牌。
读 · 公式推导·分步先猜个规律
$1=1$，$1+3=4$，$1+3+5=9$，$1+3+5+7=16$……前 $n$ 个奇数之和，看起来 $=n^2$。
基础
$n=1$：$1=1^2$ ✓。
递推
设前 $k$ 个奇数之和 $=k^2$；则前 $k+1$ 个 $=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$——正是下一张牌。∎
讨论 · 误区·辨析归纳法三个坑：① 漏了基础——只证递推、不证"第一张倒"，整排可能纹丝不动（"每张推下一张"为真，但没有起点，照样全不倒）；② 没用上归纳假设——递推里若一次都没用到"$P(k)$ 成立"，多半是证错了；③ 只验有限个 ≠ 证明——验到 $n=100$ 也不算，归纳的全部力量，就在那步"$k\to k+1$"覆盖了无穷。
做 · 巩固练习- 用数学归纳法证明：平面上 $n$ 条直线两两相交、无三线共点，把平面分成 $1+\dfrac{n(n+1)}2$ 个区域。
① $n=1$：一条直线分平面为 $2=1+\frac{1\cdot2}2$ ✓。② 设 $k$ 条分成 $1+\frac{k(k+1)}2$ 块；第 $k+1$ 条与前 $k$ 条各交一点，被分成 $k+1$ 段，每段把它穿过的那块一分为二，故新增 $k+1$ 块：$1+\frac{k(k+1)}2+(k+1)=1+\frac{(k+1)(k+2)}2$——下一张牌。∎
做 · 挑战·BOSS★ 证明：对所有正整数 $n$，$n^3-n$ 都能被 $6$ 整除。
① $n=1$：$1-1=0$，$6\mid0$ ✓。② 设 $6\mid k^3-k$。则 $(k+1)^3-(k+1)=(k^3-k)+3k^2+3k=(k^3-k)+3k(k+1)$。前项由假设被 $6$ 整除；后项 $3k(k+1)$ 中 $k(k+1)$ 是两连续整数之积、必为偶数，故 $3k(k+1)$ 被 $6$ 整除。两项皆被 $6$ 整除，故 $6\mid(k+1)^3-(k+1)$。∎（"$k(k+1)$ 必偶"正是【奇偶】那把刀。）