数 学 通 识 讲 义
奇偶：最朴素的不变量
学段 初中 · 关联知识点「奇偶性」
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读 · 引子·钩子$8\times8$ 的棋盘，去掉对角的两个格子，还剩 $62$ 格。能不能用 $31$ 张多米诺骨牌（每张恰盖相邻两格）把它铺满？你会动手试——试到崩溃。可只要给棋盘染上黑白：每张骨牌必盖一黑一白，而对角两格同色，去掉后黑白格数相差 $2$……永远铺不成。你一步没试，只抓住了一个"铺来铺去都不变"的量——黑白之差。这，就是奇偶（不变量）的威力。
讨论 · 猜想·预测先押一注：奇偶——这个"除以 2 看余数"的小东西，是算术课的边角料，还是能一票否决一大类"能不能做到"的裁判？读完再回来看。
读 · 历史- 1736 欧拉 柯尼斯堡七桥：能不能一次走遍七座桥、每座只过一次？欧拉发现答案只取决于每个路口连桥数的奇偶——奇数桥的路口太多，就走不成。图论从此诞生。
读 · 概念一个整数除以 $2$ 的余数，就是它的奇偶性（$0$ 为偶，$1$ 为奇）。它是最朴素的不变量：很多操作反复做，别的都在变，唯独某个量的奇偶纹丝不动。记住运算表：偶$\pm$偶$=$偶，奇$\pm$奇$=$偶，奇$\pm$偶$=$奇；偶$\times$任何$=$偶，奇$\times$奇$=$奇。要证"某事做不到"，常常只需盯住一个不变的奇偶。
读 · 直觉·图像把整数分成两大阵营：偶、奇。加一步、翻一次、走一格……很多"操作"每做一次，要么让某个量在两个阵营间跳一下，要么根本动不了它。想证明你到不了某个状态，就去找一个"操作动不了、而起点和终点又分属不同阵营"的奇偶量。它一旦对不上，结论当场判死。
做 · 例题精析黑板上写着 $1,2,3,\dots,2025$。每次任取两个数擦掉，把它们差的绝对值写回。如此重复，直到只剩一个数。问：这个数可能是 $0$ 吗？
读每步把 $a,b$ 换成 $|a-b|$，数字一直在变——先找一个不变的。
思盯住所有数之和的奇偶性。因为 $|a-b|$ 与 $a+b$ 奇偶相同，每擦一步，总和的奇偶都不变。
写初始总和 $1+2+\dots+2025=\dfrac{2025\times2026}{2}=2025\times1013$，是奇数。奇偶永不变，故最后剩下的那个数也必为奇数。
不可能是 $0$（$0$ 是偶数）。你没模拟任何一步，只盯住了"总和的奇偶"这个不变量。∎
读 · 公式推导·分步一个量，数两遍（握手）
一群人两两握手。把每个人的握手次数全加起来，记为 $S$。
每次握手被数了两遍
一次握手涉及两个人、给 $S$ 各加 $1$，共贡献 $2$。所以 $S=2\times(\text{握手总次数})$，是偶数。
逼出结论（奇数必成对）
握手次数为偶的人对 $S$ 贡献偶数；要让总和 $S$ 是偶数，"握手次数为奇"的人就必须成对出现。所以：握手次数为奇的人，一定是偶数个。
讨论 · 误区·辨析用奇偶两个提醒：① 奇偶是不变量，但你得确认它真的不变——每一种操作都要验一遍"奇偶不动"，漏掉一种，结论就塌了；② 奇偶只能证"做不到"，证不了"做得到"——奇偶对上了，只说明"没被这条理由挡住"，不等于真能实现，还得老老实实构造出来。不变量是"不可能"的判官，不是"可能"的证书。
做 · 引用题库如果 $a,b,c$ 是三个任意整数，那么 $\dfrac{a+b}{2},\dfrac{b+c}{2},\dfrac{c+a}{2}$
$47$ 个不同自然数的和为 $1998$，这 $47$ 个数中最少有多少个偶数？
已知 $a,b,c$ 三个数中有两个奇数、一个偶数，$n$ 是整数，如果 $S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3)$，那么
做 · 巩固练习- $5\times5$ 方阵上站着 $25$ 个人。能不能让每个人都走到与自己上下左右相邻的一个格子里，同时进行、结果仍是每格恰好一人？
不能。把方阵按棋盘染黑白，$5\times5$ 是 $13$ 黑、$12$ 白。每人从所在格走到相邻格，必然黑↔白换阵营；于是新布局要求白格里正好装下原来所有黑格的人——需要黑白格数相等。可 $13\neq12$，矛盾。∎
做 · 挑战·BOSS★ 桌上 $2025$ 枚硬币全部正面朝上。每次翻转恰好 $2$ 枚。能不能经过若干次操作，让所有硬币都反面朝上？
不能。记"正面朝上的硬币数"为 $H$，初始 $H=2025$（奇）。每次翻 $2$ 枚，$H$ 的变化是 $+2$、$0$ 或 $-2$——奇偶性不变，$H$ 永远是奇数。而"全反面"要求 $H=0$（偶）。奇偶矛盾，做不到。∎