数 学 通 识 讲 义
抽屉原理：最锋利的『显然』
学段 初中 · 关联知识点「逻辑推理」
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读 · 引子·钩子$10$ 只鸽子飞进 $9$ 个笼子。你不用去看，就敢一口咬定：至少有一个笼子里挤了不止一只。凭什么这么笃定？因为假设每个笼子最多一只，那最多装 $9$ 只——可有 $10$ 只，矛盾。这句看似废话的话，叫抽屉原理（鸽巢原理），是数学里"证明存在"最省力的一把钥匙。而它的骨头，仍是反证：要证"必有一挤"，就假设"都不挤"，看它当场爆炸。
讨论 · 猜想·预测先押一注：这句"显然的废话"，能不能证明"北京城里至少有两个人，头发根数一模一样"？（能。读完你就会。）
读 · 历史- 1834 狄利克雷 德国数学家狄利克雷把它正式当作证明工具，人称"狄利克雷抽屉原理"（$Schubfachprinzip$）——他用它研究"无理数能被分数逼近到多准"。一句废话，成了数论的利器。
读 · 概念抽屉原理（基本形）：把 $n+1$ 个物体放进 $n$ 个抽屉，必有一个抽屉里至少 $2$ 个。推广形：把 $m$ 个物体放进 $n$ 个抽屉，必有一个抽屉里至少 $\lceil m/n\rceil$ 个。用它就问三件事：谁是物体、谁是抽屉、为什么物体比抽屉多——而真正难的，永远是"造抽屉"。
做 · 例题精析任取 $13$ 个人，证明其中必有两人属相相同。
读"必有两人相同"，正面要一对对去比，烦。
思属相只有 $12$ 种（这是抽屉），人有 $13$ 个（这是物体）——物体比抽屉多。
写把 $13$ 个人按属相放进 $12$ 个抽屉，由抽屉原理，必有一个属相里 $\ge 2$ 人。
必有两人属相相同。∎ 整道题的胜负，就在认出"属相 = 12 个抽屉"这一步。
读 · 公式推导·分步设物体与抽屉
任取 $n+1$ 个整数。按"除以 $n$ 的余数"分类——余数只有 $0,1,\dots,n-1$ 共 $n$ 种，这就是 $n$ 个抽屉。
物体多于抽屉
$n+1$ 个整数（物体）放进 $n$ 个余数类（抽屉），由抽屉原理，必有两个数落进同一类。
读出结论（与同余握手）
同一类 = 除以 $n$ 余数相同 = 两数之差被 $n$ 整除。故：任意 $n+1$ 个整数中，必有两个之差是 $n$ 的倍数。抽屉正是"余数"——这就是【同余】。∎
读 · 应用回到开头那句"废话能证明什么"：一个人的头发不超过约 $15$ 万根，而北京有 $2000$ 多万人。把"头发根数"（$0$ 到约 $150000$，共约 $15$ 万个）当抽屉，人当物体——$2000$ 万个物体放进 $15$ 万个抽屉，必有一个抽屉挤了一堆人：他们头发根数一模一样。你一根头发都没数，就断定了这件事一定成立。
讨论 · 误区·辨析用抽屉两个提醒：① 它只告诉你"存在"，不告诉你"是谁、在哪"——它证明"必有两人同属相"，却从不指出是哪两人。这是纯粹的存在性武器。② 全部功夫在"造抽屉"：抽屉设计得巧，问题当场破；设计得笨，就使不上劲。难点从来不是原理本身，是"把什么当抽屉"。
做 · 引用题库在$1,2,3,\cdots,90,91$这91个自然数中任取$k$个数，使得其中必有两个自然数$p$、$q$，满足$\dfrac{2}{3}\leqslant \dfrac{q}{p}\leqslant \dfrac{3}{2}$。试确定自然数$k$的最小值，并说明理由。
在1到100这100个自然数中，任取21个数，求证：一定存在四个数$a$、$b$、$c$、$d$，使得$a+b=c+d$。
某市参加数学邀请赛的82名选手中，总能选出10名选手，他们或者来自同一所学校，或者来自10所不同的学校。请你证明这个结论。
做 · 巩固练习- 证明：任意 $5$ 个整数中，必有 $3$ 个数之和被 $3$ 整除。
按除以 $3$ 的余数分成 $3$ 类（$0,1,2$）。若某类有 $\ge3$ 个数，取这 $3$ 个，和 $\equiv 0$；若每类都 $\le2$ 个，则 $5$ 个数必用满三类（否则至多两类、至多 $4<5$ 个，矛盾），从三类各取一个，余数 $0+1+2=3\equiv0$。两种情形都得到 $3$ 个数之和被 $3$ 整除。∎
做 · 挑战·BOSS★ 在边长为 $2$ 的正方形内任意放 $5$ 个点，证明：必有两个点的距离 $\le\sqrt2$。
把大正方形切成 $4$ 个边长为 $1$ 的小正方形，当作 $4$ 个抽屉。$5$ 个点（物体）放进 $4$ 个小正方形，由抽屉原理，必有两点落在同一个小正方形里。而边长 $1$ 的正方形内，任两点距离 $\le$ 对角线 $=\sqrt2$。∎ （难在"造抽屉"：把正方形切成四格。）